Биссектрисы в равнобедренной трапеции
Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO$ и $CN=NO$. Докажите, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой. Найдите отношение $AM:MB$, если $AO=CO$ и $BC:AD=17:31$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Биссектрисы углов и равнобедренной трапеции пересекаются в точке На боковых сторонах и отмечены точки и соответственно так, что а) Докажите, что точки и лежат на одной прямой. б) Найдите отношение если и | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте ось симметрии равнобедренной трапеции и свойства биссектрис симметричных углов.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Удобно ввести координаты: положить $AD\parallel BC$, а ось симметрии трапеции направить вдоль оси ординат. Обозначьте $AD=a$, $BC=b$, $AB=CD=l$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Из условия $BC:AD=17:31$ можно взять $BC=17$, $AD=31$. Условие $AO=CO$ приводит к $AB=31$, после чего из $AM=MO$ получается $AM/AB=392/961$, поэтому $AM:MB=392:569$.