Решение: Биссектрисы в равнобедренной трапеции
Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO$ и $CN=NO$. Докажите, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой. Найдите отношение $AM:MB$, если $AO=CO$ и $BC:AD=17:31$.
Решение по шагам
6 шаговРавнобедренная трапеция имеет ось симметрии, перпендикулярную основаниям. Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ симметричны относительно этой оси, поэтому их точка пересечения $O$ лежит на оси симметрии. При симметрии точки $A$ и $D$, $B$ и $C$, а также боковые стороны $AB$ и $CD$ переходят друг в друга. Следовательно, условие $AM=MO$ переходит в условие $DN=NO$, а точка $M$ переходит в точку $N$. Поэтому прямая $MN$ проходит через неподвижную при симметрии точку $O$. Значит, точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.
$$O\in\text{оси симметрии},\quad M\leftrightarrow N$$Для нахождения отношения введём координаты: $A(-a/2,0)$, $D(a/2,0)$, $B(-b/2,h)$, $C(b/2,h)$, где $a=AD$, $b=BC$. Масштаб выберем так, чтобы $a=31$, $b=17$. Пусть $l=AB=CD$.
Из условия $AO=CO$ и из уравнений биссектрис получается $l=31$. Тогда по теореме Пифагора для боковой стороны трапеции $h^2+(7)^2=31^2$, откуда $h^2=912$.
Точка $O$ лежит на оси симметрии. Из уравнения биссектрисы угла $BAD$ получаем её координаты: $O\left(0,\dfrac{31h}{76}\right)$. Поэтому $AO^2=\left(\dfrac{31}{2}\right)^2+\left(\dfrac{31h}{76}\right)^2=392$.
Пусть $t=AM/AB$. Тогда $M=A+t(B-A)$, а условие $AM=MO$ можно записать как $|M-A|=|M-O|$. После возведения в квадрат и сокращения получаем $t=\dfrac{AO^2}{2\,\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}}=\dfrac{392}{961}$.
Следовательно, $AM:MB=t:(1-t)=\dfrac{392}{961}:\dfrac{569}{961}=392:569$.
Точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой; $AM:MB=392:569$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не использовать ось симметрии равнобедренной трапеции при доказательстве коллинеарности.
Перепутать основания $AD$ и $BC$ при подстановке отношения $17:31$.
После нахождения $AM/AB$ записать это число как искомое отношение, не вычислив $MB/AB=1-AM/AB$.