Подобие треугольников в равностороннем треугольнике
На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
Докажите, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны. Найдите отношение $AM:MC$, если площади треугольников $AEM$ и $CMK$ равны $4$ и $9$ соответственно.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На стороне равностороннего треугольника отмечена точка Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает стороны и а) Докажите, что треугольники и подобны. б) Найдите отношение если площади треугольников и равны 4 и 9 соответственно. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Какие равенства следуют из того, что точки $E$ и $K$ лежат на серединном перпендикуляре к $BM$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте равенства $EB=EM$ и $KB=KM$, а также углы равностороннего треугольника, равные $60^\circ$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Треугольники $EBM$ и $KBM$ равнобедренные с углами при основании $60^\circ$. Поэтому $\angle AEM=\angle CKM=120^\circ$, а $\angle EAM=\angle MCK=60^\circ$. Значит, треугольники подобны, и $\dfrac{AM}{MC}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$.