Окружность девяти точек треугольника
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 120^\circ$, $\angle BCA = 15^\circ$. а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_1H$, если $BC = 4\sqrt{3}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике точки , и середины сторон , и соответственно, высота, , . а) Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности. б) Найдите , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как называется окружность, проходящая через середины сторон треугольника и основания его высот?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте теорему о средней линии и свойство окружности девяти точек. Для пункта б) найдите углы треугольника и рассмотрите прямоугольный треугольник $ACH$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Так как $\angle B = 45^\circ$, высота $AH$ падает на сторону $BC$. По теореме синусов $AC = 4\sqrt{2}$, поэтому $CH = AC\cos 15^\circ = 2\sqrt{3}+2$. Следовательно, $A_1H = CH - A_1C = 2$.