Тангенциальный четырёхугольник
В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle NKL=\angle KLM=120^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=1$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В четырёхугольник вписана окружность с центром Эта окружность касается стороны в точке Известно, что а) Докажите, что точка лежит на прямой б) Найдите длину стороны если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Выразите длины касательных от вершин четырёхугольника через радиус вписанной окружности и половины углов.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Если $r$ — радиус окружности, то длина касательной от вершины с углом $\alpha$ равна $r\cot\dfrac{\alpha}{2}$. Рассмотрите треугольник $LMA$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Положите $t=\dfrac{r}{\sqrt3}$. Тогда $MA=t(3+2\sqrt3)$, $LM=t(4+2\sqrt3)$ и $LA=t(2+\sqrt3)$. Следовательно, $LM=2LA$, а при $\angle LMA=30^\circ$ получаем $\angle LAM=90^\circ$ и $\angle ALM=60^\circ$. Так как $LO$ — биссектриса угла $KLM$, то $\angle OLM=60^\circ$, откуда точки $A,L,O$ коллинеарны.