Окружность и параллелограмм
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $M$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $N$.
а) Докажите, что $AM=AN$.
б) Найдите отношение $CD:DN$, если $AB:BC=1:2$, а $\cos\angle BAD=\dfrac{2}{3}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Окружность проходит через вершины , и параллелограмма , пересекает сторону в точках и и пересекает продолжение а) Докажите, что . б) Найдите отношение , если , а .
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введи векторы $\vec{AB}=\mathbf b$ и $\vec{AD}=\mathbf d$ и запиши уравнение окружности через скалярные произведения.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Если точка на $BC$ имеет вид $B+t\mathbf d$, а точка на продолжении $CD$ — вид $D-s\mathbf b$, то условие принадлежности окружности даст значения $t$ и $s$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получаются $t=1-\dfrac{2\mathbf b\cdot\mathbf d}{\mathbf d^2}$ и $s=\dfrac{2\mathbf b\cdot\mathbf d}{\mathbf b^2}-1$. После этого проверь, что $AM^2=AN^2=\mathbf b^2+\mathbf d^2-2\mathbf b\cdot\mathbf d$.