Решение: Окружность и параллелограмм
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $M$ и пересекает продолжение стороны $CD$ за точку $D$ в точке $N$.
а) Докажите, что $AM=AN$.
б) Найдите отношение $CD:DN$, если $AB:BC=1:2$, а $\cos\angle BAD=\dfrac{2}{3}$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим $\vec{AB}=\mathbf b$, $\vec{AD}=\mathbf d$. Тогда $B=\mathbf b$, $D=\mathbf d$, а точки окружности удовлетворяют уравнению $\mathbf r^2-\mathbf u\cdot\mathbf r=0$. Так как окружность проходит через $B$ и $D$, имеем $\mathbf u\cdot\mathbf b=\mathbf b^2$ и $\mathbf u\cdot\mathbf d=\mathbf d^2$.
Точка $M$ лежит на прямой $BC$ и имеет вид $M=\mathbf b+t\mathbf d$. Подстановка в уравнение окружности даёт два корня: $t=0$ соответствует точке $B$, а для точки $M$ получаем $t=1-\dfrac{2\mathbf b\cdot\mathbf d}{\mathbf d^2}$.
Точка $N$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, поэтому $N=\mathbf d-s\mathbf b$. Подстановка в уравнение окружности даёт ненулевой корень $s=\dfrac{2\mathbf b\cdot\mathbf d}{\mathbf b^2}-1$.
Вычислим квадрат длины $AM$: $AM^2=(\mathbf b+t\mathbf d)^2$. После подстановки значения $t$ получаем $AM^2=\mathbf b^2+\mathbf d^2-2\mathbf b\cdot\mathbf d$.
Аналогично, $AN^2=(\mathbf d-s\mathbf b)^2$. Подстановка значения $s$ также даёт $AN^2=\mathbf b^2+\mathbf d^2-2\mathbf b\cdot\mathbf d$. Следовательно, $AM^2=AN^2$, значит $AM=AN$.
Пусть $AB=a$. По условию $BC=AD=2a$. Тогда $\mathbf b^2=a^2$, $\mathbf d^2=4a^2$, а $\mathbf b\cdot\mathbf d=AB\cdot AD\cdot\cos\angle BAD=a\cdot2a\cdot\dfrac23=\dfrac43a^2$.
Из формулы для $s$ получаем $s=\dfrac{2\cdot\frac43a^2}{a^2}-1=\dfrac53$. Поскольку $DN=s\cdot AB$, имеем $DN=\dfrac53a$, а $CD=AB=a$.
$CD:DN=3:5$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно выбирать направление вектора на продолжении стороны $CD$ за точку $D$.
Забывать, что $BC=AD$ и $CD=AB$ в параллелограмме.
Использовать значение косинуса угла без учёта длин $AB$ и $AD$ при вычислении скалярного произведения.
Получить длину $DN$ вместо требуемого отношения $CD:DN$.