Решение: Пятиугольник в окружности
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.
а) Докажите, что $BC=DE$.
б) Найдите длину стороны $AB$, если известно, что $DE=4$, $AD=7$, $BE=8$ и $AB>BC$.
Решение по шагам
10 шаговТак как $BCDM$ — параллелограмм, то $BC\parallel DM$ и $BC=DM$.
Поскольку $A,M,D$ лежат на одной прямой, а $B,M,E$ лежат на одной прямой, имеем $\angle DME=\angle CBE$. Эти углы равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CE$. Угловая конфигурация параллелограмма также даёт $\angle DEM=\angle DME$, поэтому треугольник $DME$ равнобедренный и $DM=DE$.
Следовательно, $BC=DM=DE$, то есть $BC=DE$.
По условию $DE=4$, поэтому $DM=BC=4$. Так как $AD=7$, то $AM=AD-DM=7-4=3$.
По теореме о пересекающихся хордах:
$$AM\cdot DM=BM\cdot ME$$Подставим известные значения:
$$BM\cdot ME=3\cdot4=12$$Так как $BE=8$, имеем $BM+ME=8$. Следовательно, числа $BM$ и $ME$ являются корнями уравнения:
$$x(8-x)=12\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-8x+12=0$$Отсюда $BM=2$, $ME=6$ или $BM=6$, $ME=2$. Условие $AB>BC$ и взаимное расположение вершин выпуклого вписанного пятиугольника выбирают вариант $BM=6$, $ME=2$.
Рассмотрим треугольник с векторами $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{MB}$. Из равенства $DE=DM=4$ и $ME=2$ получаем $\cos\angle DME=\frac{ME}{2DM}=\frac14$. Тогда:
$$AB^2=AM^2+BM^2+2\cdot AM\cdot BM\cos\angle AMB=3^2+6^2+2\cdot3\cdot6\cdot\frac14=216$$Следовательно, $AB=\sqrt{216}=6\sqrt6$.
а) $BC=DE$; б) $AB=6\sqrt6$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не используют равенство противоположных сторон параллелограмма $BC=DM$.
Неверно применяют теорему о пересекающихся хордах.
Выбирают значение $BM=2$ вместо $BM=6$, не учитывая условие $AB>BC$ и порядок вершин.
Забывают извлечь корень из $AB^2=216$.