Точки на сторонах треугольника
На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B=21:10$, $BA_1:A_1C=2:3$, $AB_1:B_1C=2:5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=63$, $BC=25$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На сторонах , и треугольника отмечены точки , и соответственно, причём , , . Отрезки и пересекаются в точке . а) Докажите, что четырёхугольник параллелограмм. б) Найдите , если отрезки и перпендикулярны, , . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Выразите радиус-векторы точек $C_1$, $A_1$ и $B_1$ через радиус-векторы вершин треугольника.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для точки пересечения $D$ используйте параметрические уравнения прямых $BB_1$ и $CC_1$. Условие $AD\perp BC$ удобно записать через скалярное произведение.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается $\vec D=\dfrac{10\vec A+21\vec B+4\vec C}{35}$. Затем положите $\vec x=\overrightarrow{CA}$ и $\vec y=\overrightarrow{CB}$ и найдите $\vec x\cdot\vec y$ из условия перпендикулярности.