Окружность и подобные треугольники
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Угол $A$ равен $30^\circ$, $B_1C_1=5$. Площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$, а затем вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если А= , В1С1= и площадь треугольника АВ1С1 в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте вписанные углы, опирающиеся на одни и те же хорды, чтобы доказать подобие треугольников.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Если коэффициент подобия равен $k$, то отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$. Учтите, что площадь четырёхугольника равна разности площадей треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается $k=\sqrt{6}$ и $BC=5\sqrt{6}$. Из подобия следует $AB=AC$, поэтому углы при основании равны $75^\circ$. Для радиуса найдите угол, опирающийся на хорду $BC$, и примените формулу $R=\dfrac{BC}{2\sin\varphi}$.