Решение: Окружность и подобные треугольники
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Угол $A$ равен $30^\circ$, $B_1C_1=5$. Площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$, а затем вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности.
Решение по шагам
7 шаговТак как точки $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной окружности, углы $ABC$ и $AB_1C_1$ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $AC_1$. Аналогично, углы $ACB$ и $AC_1B_1$ равны. Следовательно, $\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$.
$$\angle A=\angle A,\quad \angle ABC=\angle AB_1C_1,\quad \angle ACB=\angle AC_1B_1$$Обозначим коэффициент подобия треугольника $ABC$ к треугольнику $AB_1C_1$ через $k$. Площадь четырёхугольника $BCB_1C_1$ равна $S_{ABC}-S_{AB_1C_1}$. По условию $S_{AB_1C_1}=5(S_{ABC}-S_{AB_1C_1})$, поэтому $S_{ABC}=6S_{AB_1C_1}$.
$$\frac{S_{ABC}}{S_{AB_1C_1}}=6$$Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
$$k^2=6,\quad k=\sqrt{6}$$Стороне $BC$ большого треугольника соответствует сторона $B_1C_1$ малого треугольника, поэтому
$$BC=k\cdot B_1C_1=\sqrt{6}\cdot5=5\sqrt{6}$$Из подобия также следует $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AC_1}{AB_1}$. По теореме о пересекающихся хордах для точки $A$ имеем $AB\cdot AC_1=AC\cdot AB_1$. Отсюда $AB=AC$. Значит, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны $75^\circ$.
Пусть $t=\dfrac{1}{\sqrt6}$. Тогда $AB_1=AC_1=t\,AB$. Введём координаты: $A=(0,0)$, $B=(\cos15^\circ,-\sin15^\circ)$, $C=(\cos15^\circ,\sin15^\circ)$, $B_1=tC$. Вычисление угла $\varphi=\angle BB_1C$, опирающегося на хорду $BC$, даёт $\sin\varphi\approx0{,}738$.
Радиус окружности находится по формуле хорды.
$$R=\frac{BC}{2\sin\varphi}=\frac{5\sqrt6}{2\cdot0{,}738}\approx8{,}29$$$BC=5\sqrt6$, радиус окружности $R\approx8{,}29$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что площадь четырёхугольника равна разности площадей двух треугольников.
Используют отношение площадей как коэффициент подобия, не извлекая квадратный корень.
Неверно сопоставляют стороны подобных треугольников.
Пытаются применить формулу радиуса описанной окружности треугольника $ABC$, хотя искомая окружность не проходит через точку $A$.