Ответ: Окружность и подобные треугольники
$BC=5\sqrt6$, радиус окружности $R\approx8{,}29$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Угол $A$ равен $30^\circ$, $B_1C_1=5$. Площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$, а затем вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности.
Где здесь ошибаются
Забывают, что площадь четырёхугольника равна разности площадей двух треугольников.
Используют отношение площадей как коэффициент подобия, не извлекая квадратный корень.
Неверно сопоставляют стороны подобных треугольников.
Пытаются применить формулу радиуса описанной окружности треугольника $ABC$, хотя искомая окружность не проходит через точку $A$.