Ответ: Медианы и пересечение отрезков
В пункте а) доказано, что $AN=2KM$. В пункте б) длина отрезка $BP$ равна $\frac{\sqrt{109}}{2}$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $CK:KB=1:3$. Докажите, что $AN=2KM$. Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM$. Найдите длину отрезка прямой $BP$, заключённого внутри треугольника $ABC$, если $AC=6$, $BC=8$.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют положение прямого угла: гипотенуза $AB$, значит прямой угол находится при вершине $C$.
Ошибочно находят точку $K$, принимая $CK=\frac34 BC$ вместо $CK=\frac14 BC$.
При вычислении расстояния $BP$ используют координаты точки $P$ с неверным знаком или забывают возвести в квадрат обе разности.