Решение: Медианы и пересечение отрезков
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно, точка $K$ отмечена на катете $BC$ так, что $CK:KB=1:3$. Докажите, что $AN=2KM$. Пусть $P$ — точка пересечения отрезков $AN$ и $KM$. Найдите длину отрезка прямой $BP$, заключённого внутри треугольника $ABC$, если $AC=6$, $BC=8$.
Решение по шагам
7 шаговВведём координаты: $C=(0,0)$, $B=(8,0)$, $A=(0,6)$. Так как $CK:KB=1:3$ и $CB=8$, имеем $CK=2$, поэтому $K=(2,0)$.
Найдём координаты середин отрезков $AB$ и $BC$: $M=(4,3)$, $N=(4,0)$.
Вычислим длины отрезков $AN$ и $KM$ по формуле расстояния между точками.
$$AN=\sqrt{(4-0)^2+(0-6)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13},\quad KM=\sqrt{(4-2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13}$$Следовательно, $AN=2KM$, что доказывает утверждение пункта а).
$$AN=2\sqrt{13}=2KM$$Запишем параметрические уравнения отрезков $AN$ и $KM$. Точка на $AN$ имеет координаты $(4t,6-6t)$, а точка на $KM$ — координаты $(2+2s,3s)$. В точке пересечения координаты равны.
$$4t=2+2s,\quad 6-6t=3s$$Решая систему, получаем $t=\frac34$, $s=\frac12$, поэтому $P=(3,\frac32)$.
Так как $B=(8,0)$, длина отрезка $BP$ равна:
$$BP=\sqrt{(8-3)^2+\left(0-\frac32\right)^2}=\sqrt{25+\frac94}=\sqrt{\frac{109}{4}}=\frac{\sqrt{109}}{2}$$В пункте а) доказано, что $AN=2KM$. В пункте б) длина отрезка $BP$ равна $\frac{\sqrt{109}}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют положение прямого угла: гипотенуза $AB$, значит прямой угол находится при вершине $C$.
Ошибочно находят точку $K$, принимая $CK=\frac34 BC$ вместо $CK=\frac14 BC$.
При вычислении расстояния $BP$ используют координаты точки $P$ с неверным знаком или забывают возвести в квадрат обе разности.