Окружности и прямоугольный треугольник
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$. Вершины $B$ и $C$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает большую окружность в точке $D$, а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $E$.
Докажите, что прямые $DE$ и $AB$ параллельны. Найдите длину отрезка $DE$, если радиусы окружностей равны $3$ и $4$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает бо́льшую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке . а) Докажите, что прямые и параллельны. б) Найдите , если радиусы окружностей равны 3 и 4. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте свойства хорд и углов, опирающихся на одну и ту же дугу.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при вершинах $A$ и $B$ равны $45^\circ$. Сравните углы, образованные секущими и хордами окружностей.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
После доказательства параллельности примените теорему о пропорциональных отрезках, учитывая, что расстояние между центрами касающихся окружностей равно $4-3=1$.