Окружность и точки на сторонах
В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается отрезка $MN$ в точке $L$.
а) Докажите, что $AB+BC=4AC$. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $ML=\dfrac{9}{5}$, $LN=3$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике точки и лежат на сторонах и соответственно так, что Окружность, вписанная а) Докажите, что б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте стороны $BC$, $CA$, $AB$ через $a$, $b$, $c$, а длины касательных от вершин $A$, $B$, $C$ до вписанной окружности — через $x$, $y$, $z$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как из одной точки к окружности проведены две касательные, $ML$ равно расстоянию от $M$ до точки касания на $AB$, а $NL$ — расстоянию от $N$ до точки касания на $BC$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Используйте $c=x+y$, $a=y+z$, $b=x+z$, а также отношения $AM=\frac{2c}{5}$ и $CN=\frac{2a}{5}$. Из условия касания прямой $MN$ к вписанной окружности следует $y=\frac{3b}{2}$, откуда $a+c=4b$. Затем найдите $x$ и $z$ по условиям $ML=\frac95$ и $LN=3$.