Окружности и прямые треугольника
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке $O$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает большую окружность в точке $D$, а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $E$.
а) Докажите, что прямые $DE$ и $AB$ параллельны. б) Найдите $AB$, если радиусы окружностей равны $10$ и $15$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника а) Докажите, что прямые и параллельны. б) Найдите , если радиусы окружностей равны и 15. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте равенство углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике и свойства углов, опирающихся на хорды окружности.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Сначала докажите подобие треугольников, связанных с точками $A$, $B$, $D$, $E$, а затем примените теорему о внешнем касании окружностей.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Из подобия следует, что $\triangle CDE \sim \triangle CAB$, поэтому $DE \parallel AB$. При радиусах $10$ и $15$ расстояние между центрами окружностей равно $25$, откуда $AB=25\sqrt{2}$.