Высоты и перпендикуляры в треугольнике

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия

ВысокаяФИПИFcDc46Развёрнутое решение≈ 15 минут

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ — перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E$.

а) Докажите, что $TH = ME$. б) Найдите длину отрезка $EK$, если $AB = 13$ и $AC = 10$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

В равнобедренном остроугольном треугольнике $A B C$ проведены
высоты $A H$ и $C T$ к боковым сторонам $B C$ и $A B$ . Отрезки $H M$ и $H K$ $—$ перпендикуляры к прямым $A B$ и $A C$ соответственно. Отрезки $C T$ и $M K$ пересекаются в точке $E .$

а) Докажите, что $T H = M E .$

б) Найдите длину отрезка $E K,$ если $A B = 13$ и $A C = 10.$

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Для доказательства рассмотрите прямоугольные треугольники, связанные с перпендикулярами, а для вычисления удобно ввести координаты.

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Так как треугольник равнобедренный и $AB = 13$, $AC = 10$, то $BC = 13$. Можно выбрать координаты $A(0;0)$, $C(10;0)$, $B(5;12)$.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

В выбранной системе координат: $T\left(\frac{250}{169};\frac{600}{169}\right)$, $H\left(\frac{1440}{169};\frac{600}{169}\right)$, $K\left(\frac{1440}{169};0\right)$. Найдите координаты $M$, пересечение прямых $CT$ и $MK$, а затем длину $EK$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяПараллелограмм и биссектриса

Задание 18 ЕГЭ, математика, профиль