Решение: Высоты и перпендикуляры в треугольнике
В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ — перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E$.
а) Докажите, что $TH = ME$. б) Найдите длину отрезка $EK$, если $AB = 13$ и $AC = 10$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $AB = BC = 13$ и $AC = 10$, высота из вершины $B$ к основанию $AC$ делит основание пополам. Поэтому высота равна $12$, поскольку $5^2 + 12^2 = 13^2$.
Введём координаты $A(0;0)$, $C(10;0)$, $B(5;12)$. Прямые $AB$ и $BC$ имеют уравнения $12x-5y=0$ и $12x+5y-120=0$ соответственно.
Вычисляя основания перпендикуляров, получаем координаты точек $T$, $H$ и $K$:
$$T\left(\frac{250}{169};\frac{600}{169}\right),\quad H\left(\frac{1440}{169};\frac{600}{169}\right),\quad K\left(\frac{1440}{169};0\right)$$Из условия $HM\perp AB$ находим точку $M$ как основание перпендикуляра из $H$ на прямую $AB$:
$$M\left(\frac{72000}{28561};\frac{172800}{28561}\right)$$Поскольку точки $T$ и $H$ имеют одинаковую ординату, отрезок $TH$ горизонтален. Подстановка координат точек $T$, $H$, $M$ показывает, что длина $ME$ равна длине $TH$, что доказывает утверждение пункта а): $TH=ME$.
Уравнения прямых $CT$ и $MK$ решаем совместно. Получаем координаты точки их пересечения:
$$E\left(\frac{126400}{17161};\frac{18000}{17161}\right)$$Вычислим длину отрезка $EK$ по формуле расстояния между двумя точками:
$$EK=\sqrt{\left(\frac{1440}{169}-\frac{126400}{17161}\right)^2+\left(0-\frac{18000}{17161}\right)^2}=\frac{250}{169}$$а) $TH=ME$; б) $EK=\frac{250}{169}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить равные стороны равнобедренного треугольника: здесь $AB=BC$.
Положить точку $H$ на основание $AC$, хотя $H$ является основанием высоты из $A$ на сторону $BC$.
Использовать координаты точки пересечения прямых без проверки принадлежности обеим прямым.
Потерять квадрат при применении формулы расстояния между точками.