Решение: Окружность в треугольнике
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Найдите $A_1H$, если $BC = 4\sqrt{3}$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон треугольника, то по теореме о средней линии $A_1B_1 \parallel BC$, $B_1C_1 \parallel AB$, $A_1C_1 \parallel AC$.
Выберем координаты: $C=(0,0)$, $B=(4\sqrt{3},0)$. Поскольку $\angle BCA=45^\circ$, точка $A$ лежит на прямой $y=x$. Высота $AH$ перпендикулярна $BC$, поэтому $H$ имеет ту же абсциссу, что и $A$.
Углы треугольника равны $\angle A=30^\circ$, $\angle C=45^\circ$, $\angle B=105^\circ$. По теореме синусов:
$$\frac{AC}{\sin 105^\circ}=\frac{BC}{\sin 30^\circ},\qquad AC=\frac{4\sqrt3\sin105^\circ}{\sin30^\circ}=6\sqrt2+2\sqrt6$$Так как $A$ лежит на луче $y=x$, его координаты равны $A=(6+2\sqrt3,6+2\sqrt3)$. Следовательно, $H=(6+2\sqrt3,0)$.
Координаты середин сторон: $A_1=(2\sqrt3,0)$, $B_1=(3+\sqrt3,3+\sqrt3)$, $C_1=(3+3\sqrt3,3+\sqrt3)$. Векторы $\overrightarrow{HA_1}$ и $\overrightarrow{HB_1}$ образуют угол $45^\circ$, поэтому $\angle A_1HB_1=45^\circ$. Из параллельности средних линий аналогично получаем $\angle A_1C_1B_1=45^\circ$.
Равенство углов, опирающихся на одну и ту же хорду $A_1B_1$, означает, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
Так как $A_1=(2\sqrt3,0)$, а $H=(6+2\sqrt3,0)$, расстояние между ними равно:
$$A_1H=(6+2\sqrt3)-2\sqrt3=6$$Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности; $A_1H=6$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют, какие стороны соединяют средние линии.
Забывают, что высота $AH$ перпендикулярна стороне $BC$.
Ошибаются при вычислении $\sin105^\circ$ или при применении теоремы синусов.
Доказывают равенство углов без указания, на какую хорду они опираются.