Решение: Высоты и перпендикуляры в треугольнике
В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ — перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E$.
а) Докажите, что $TH=ME$.
б) Найдите длину отрезка $EK$, если $AB=5$ и $AC=6$.
Решение по шагам
9 шаговТак как треугольник равнобедренный, его боковые стороны равны: $AB=BC=5$. При $AC=6$ высота из вершины $B$ делит основание пополам. Поэтому удобно выбрать координаты $A(-3,0)$, $C(3,0)$, $B(0,4)$: действительно, $AB=BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
Уравнения боковых сторон имеют вид $AB: 4x-3y+12=0$ и $BC: 4x+3y-12=0$. Проекция точки $A$ на $BC$ даёт $H\left(\frac{21}{25},\frac{72}{25}\right)$, а проекция точки $C$ на $AB$ даёт $T\left(-\frac{21}{25},\frac{72}{25}\right)$.
Так как $HK\perp AC$, а $AC$ — ось абсцисс, имеем $K\left(\frac{21}{25},0\right)$. Проекция точки $H$ на прямую $AB$ даёт $M\left(-\frac{147}{625},\frac{2304}{625}\right)$.
Уравнение прямой $CT$ имеет вид $y=\frac94-\frac34x$, а уравнение прямой $MK$ — $y=\frac{72}{25}-\frac{24}{7}x$. Их пересечение:
$$E\left(\frac{147}{625},\frac{1296}{625}\right)$$Вычислим длину $TH$. Точки $T$ и $H$ имеют одинаковую ординату, поэтому:
$$TH=\frac{21}{25}-\left(-\frac{21}{25}\right)=\frac{42}{25}$$Вычислим длину $ME$:
$$ME=\sqrt{\left(\frac{294}{625}\right)^2+\left(\frac{1008}{625}\right)^2}=\frac{1050}{625}=\frac{42}{25}$$Следовательно, $TH=ME$, что и требовалось доказать.
Для нахождения $EK$ используем координаты точек $E$ и $K$:
$$EK=\sqrt{\left(\frac{21}{25}-\frac{147}{625}\right)^2+\left(0-\frac{1296}{625}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{378}{625}\right)^2+\left(\frac{1296}{625}\right)^2}$$После упрощения получаем:
$$EK=\frac{1350}{625}=\frac{54}{25}$$а) $TH=ME$. б) $EK=\frac{54}{25}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют равные стороны: из условия следует $AB=BC$, а $AC$ является основанием.
Ошибаются при вычислении высоты треугольника: она равна $4$, поскольку половина основания равна $3$, а боковая сторона равна $5$.
Используют координаты точки $M$ как координаты точки $H$ или путают основания перпендикуляров $M$ и $K$.
При вычислении длины $EK$ забывают возвести в квадрат обе разности координат.