Решение: Параллелограмм и окружность
Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $E$, а сторону $CD$ — в точках $K$ и $D$.
а) Докажите, что $AE = AK$.
б) Найдите $AD$, если $CE = 10$, $DK = 9$ и $\cos \angle BAD = 0{,}2$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$. Поэтому $\angle ABE = \angle ADK$, а также $\angle AEB = \angle ADK$ как вписанные углы, опирающиеся на соответствующие дуги окружности. Кроме того, $\angle BAE = \angle KAD$. Следовательно, треугольники $ABE$ и $ADK$ подобны.
$$\triangle ABE \sim \triangle ADK$$Из подобия следует равенство соответствующих сторон $AE=AK$.
Обозначим $AB=x$, $AD=y$. Тогда $BC=y$, $CD=x$, $BE=y-10$, а $CK=x-9$.
По теореме о степени точки $C$ для секущих $CBE$ и $CKD$ получаем:
$$CB\cdot CE=CD\cdot CK,\qquad y\cdot 10=x(x-9)$$По теореме косинусов в треугольниках $ABE$ и $ADK$, с учётом $AE=AK$ и $\cos\angle BAD=0{,}2$, получаем:
$$x^2+(y-10)^2+2x(y-10)\cdot0{,}2=y^2+9^2+2y\cdot9\cdot0{,}2$$После упрощения и подстановки $10y=x(x-9)$ получаем:
$$x^3-43x^2+431x+475=0=(x-25)(x-19)(x+1)$$Так как длины положительны, возможны $x=19$ или $x=25$. Из формулы $y=\dfrac{x(x-9)}{10}$ получаем соответственно $y=19$ или $y=40$.
При данных условиях возможны два значения: $AD=19$ или $AD=40$. Следовательно, условие задачи допускает два ответа.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно записывают степень точки: используют $CB\cdot CK=CD\cdot CE$ вместо $CB\cdot CE=CD\cdot CK$.
Путают длины $BE=y-10$ и $CK=x-9$.
Теряют второй положительный корень уравнения.
Без дополнительного условия выбирают только одно из значений $19$ и $40$.