Решение: Трапеция с равнобедренными треугольниками
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6{,}5$.
Решение по шагам
9 шаговТак как треугольник $ABD$ равнобедренный с основанием $AD$, то $AB=BD$. Так как треугольник $BCD$ равнобедренный с основанием $CD$, то $BC=BD$.
Следовательно, $AB=BC$, поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Значит, $\angle BAC=\angle ACB$.
Поскольку $AD\parallel BC$, углы $ACB$ и $CAD$ являются накрест лежащими, поэтому $\angle ACB=\angle CAD$. Следовательно, $\angle BAC=\angle CAD$, то есть луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
Для вычисления длины $CD$ введём координаты: пусть $A=(0,0)$, $D=(2p,0)$, $B=(p,h)$, а $C=(p+x,h)$, где $x=BC=BD=6{,}5$. Равенство $AB=BD$ действительно даёт симметричное расположение точек $A$ и $D$.
Из условия $BD=x$ получаем $p^2+h^2=x^2$. Тогда
$$AC^2=(p+x)^2+h^2=p^2+h^2+2px+x^2=2x^2+2px$$Аналогично,
$$CD^2=(x-p)^2+h^2=p^2+h^2-2px+x^2=2x^2-2px$$Складывая два равенства, получаем
$$AC^2+CD^2=4x^2$$Подставим известные значения:
$$12^2+CD^2=4\cdot 6{,}5^2=169$$Следовательно,
$$CD^2=169-144=25,\qquad CD=5$$а) $AC$ — биссектриса угла $BAD$; б) $CD=5$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют равные стороны в равнобедренных треугольниках.
Используют равенство углов при параллельных прямых без указания, какие именно углы являются накрест лежащими.
Забывают выбрать положительное значение корня при нахождении длины отрезка.