Решение: Диагонали и высота трапеции
Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Решение по шагам
7 шаговПусть горизонтальные проекции диагоналей на направление оснований равны $x$ и $y$, а высота трапеции равна $h$. Так как сумма оснований равна 13, имеем
$$x+y=13$$По теореме Пифагора для диагоналей длиной 12 и 5 получаем
$$x^2+h^2=12^2=144,\qquad y^2+h^2=5^2=25$$Вычтем второе равенство из первого:
$$x^2-y^2=119,\qquad (x-y)(x+y)=119$$С учётом равенства $x+y=13$ найдём разность проекций, а затем сами проекции:
$$x-y=\frac{119}{13},\qquad x=\frac{144}{13},\qquad y=\frac{25}{13}$$Найдём высоту из прямоугольного треугольника с диагональю 5:
$$h^2=25-\left(\frac{25}{13}\right)^2=\frac{3600}{169},\qquad h=\frac{60}{13}$$Векторы диагоналей имеют координаты $(x,h)$ и $(-y,h)$. Их скалярное произведение равно нулю:
$$(x,h)\cdot(-y,h)=-xy+h^2=-\frac{144}{13}\cdot\frac{25}{13}+\frac{3600}{169}=0$$Следовательно, диагонали трапеции перпендикулярны.
Диагонали трапеции перпендикулярны, высота трапеции равна $\dfrac{60}{13}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно складывают горизонтальные проекции диагоналей и получают не сумму оснований.
Забывают, что горизонтальные компоненты направлений диагоналей имеют противоположные знаки.
Используют только теорему Пифагора и не доказывают перпендикулярность диагоналей.
Теряют положительный корень при вычислении высоты.