Решение: Окружность в угле
Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$.
б) Найдите длину отрезка $NO$, если известно, что $AC = 10$ и $AB = 24$.
Решение по шагам
7 шаговЦентр окружности равноудалён от сторон угла, поэтому точка $O$ лежит на биссектрисе угла $ANB$. Обозначим половину угла $ANB$ через $\alpha$, а длину $NO$ через $d$.
Выберем координатную систему так, чтобы ось $Ox$ совпадала с биссектрисой угла, а точка $N$ была началом координат. Тогда $O=(d,0)$. Так как $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, координаты точек касания можно записать в виде $A=(d\cos^2\alpha,d\sin\alpha\cos\alpha)$ и $B=(d\cos^2\alpha,-d\sin\alpha\cos\alpha)$.
Поскольку $BC$ — диаметр, точка $O$ является серединой отрезка $BC$. Поэтому $C=2O-B$. Отсюда $A$ и $C$ имеют одинаковую ординату, значит прямая $AC$ горизонтальна и параллельна оси $Ox$, то есть биссектрисе угла $ANB$.
Вычислим длины $AB$ и $AC$ по координатам:
$$AB=2d\sin\alpha\cos\alpha,\qquad AC=2d\sin^2\alpha$$Делением второго равенства на первое получаем:
$$\tan\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$$Так как угол $\alpha$ острый, из треугольника с отношением катетов $5:12$ имеем $\sin\alpha=\frac{5}{13}$ и $\cos\alpha=\frac{12}{13}$. Подставим эти значения в формулу для $AC$:
$$10=2d\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{50d}{169}$$Следовательно, длина отрезка $NO$ равна:
$$d=NO=\frac{10\cdot169}{50}=\frac{169}{5}$$а) $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$; б) $NO=\dfrac{169}{5}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что $AC$ является диаметром или хордой, проходящей через центр.
Забывать, что центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного двумя касательными.
Использовать отношение $\dfrac{AB}{AC}$ вместо $\dfrac{AC}{AB}$ при нахождении $\tan\alpha$.
Получить $NO=\dfrac{5}{169}$ из-за неверного преобразования последнего равенства.