Решение: Равносторонний треугольник и площади
На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что $\angle AEM = \angle CMK$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK$, если $AM : MC = 1 : 4$.
Решение по шагам
9 шаговТак как $AM:MC=1:4$, выберем масштаб так, чтобы $AC=5$. Введём координаты: $A(0,0)$, $C(5,0)$, $M(1,0)$, $B\left(\frac52,\frac{5\sqrt3}{2}\right)$.
$$AB=BC=AC=5$$Пусть $E$ делит отрезок $AB$ в отношении $AE:AB=t$. Поскольку $E$ лежит на серединном перпендикуляре к $BM$, имеем $EB=EM$. Из координат или из равенства квадратов расстояний получаем:
$$25(1-t)^2=25t^2-5t+1$$Решая уравнение, находим $t=\frac{8}{15}$. Поэтому координаты точки $E$ равны:
$$E\left(\frac43,\frac{4\sqrt3}{3}\right)$$Аналогично, пусть $K$ делит $BC$ так, что $BK:BC=s$. Из условия $KB=KM$ получаем $s=\frac{7}{10}$, поэтому:
$$K\left(\frac{17}{4},\frac{3\sqrt3}{4}\right)$$Рассмотрим угол $AEM$. Для векторов $\overrightarrow{EA}=\left(-\frac43,-\frac{4\sqrt3}{3}\right)$ и $\overrightarrow{EM}=\left(-\frac13,-\frac{4\sqrt3}{3}\right)$ отношение модуля векторного произведения к скалярному произведению равно:
$$\tan\angle AEM=\frac{|\overrightarrow{EA}\times\overrightarrow{EM}|}{\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EM}}=\frac{3\sqrt3}{13}$$Для угла $CMK$ имеем $\overrightarrow{MC}=(4,0)$ и $\overrightarrow{MK}=\left(\frac{13}{4},\frac{3\sqrt3}{4}\right)$. Следовательно:
$$\tan\angle CMK=\frac{\frac{3\sqrt3}{4}}{\frac{13}{4}}=\frac{3\sqrt3}{13}$$Оба угла являются острыми и имеют одинаковый тангенс, следовательно, они равны.
$$\angle AEM=\angle CMK$$Высота точки $E$ над прямой $AC$ равна $\frac{4\sqrt3}{3}$, а высота точки $K$ над $AC$ равна $\frac{3\sqrt3}{4}$. Кроме того, $AE=\frac83$ и $CM=4$.
$$S_{AEM}=\frac12\cdot\frac83\cdot\frac{4\sqrt3}{3},\quad S_{CMK}=\frac12\cdot4\cdot\frac{3\sqrt3}{4}$$Находим отношение площадей:
$$\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=\frac{\frac12\cdot\frac83\cdot\frac{4\sqrt3}{3}}{\frac12\cdot4\cdot\frac{3\sqrt3}{4}}=\frac{32}{27}$$а) $\angle AEM=\angle CMK$; б) $S_{AEM}:S_{CMK}=32:27$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать свойство серединного перпендикуляра: точки $E$ и $K$ равноудалены именно от $B$ и $M$.
Перепутать высоты треугольников при вычислении площадей.
Сравнивать площади только по основаниям, не учитывая разные высоты.
Забыть, что равенство тангенсов доказывает равенство углов только после установления, что углы лежат в подходящем диапазоне.