Прямоугольник и перпендикуляр
Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
а) Докажите, что $\angle ABM = \angle DBC = 30^\circ$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM$, если $BC = 9$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Прямая, проходящая через вершину прямоугольника перпендикулярно диагонали , пересекает сторону в точке , равноудалённой от вершин и . а) Докажите, что . б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введём координаты вершин прямоугольника и используем условие перпендикулярности прямых.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Пусть $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,b)$, $D(0,b)$. Из перпендикулярности прямой $BM$ и диагонали $AC$ найдите координату точки $M$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Условия $MB=MD$ и $BM\perp AC$ приводят к $b^2=3a^2$, поэтому $b=\sqrt{3}a$. При $b=9$ получаем $a=3\sqrt{3}$ и $M=D$.