Равносторонний треугольник и площади
На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.
а) Докажите, что $\angle AEM = \angle CMK$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK$, если $AM : MC = 1 : 4$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На стороне равностороннего треугольника отмечена точка Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает стороны и а) Докажите, что б) Найдите отношение площадей треугольников и если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте свойство серединного перпендикуляра: любая его точка равноудалена от концов отрезка $BM$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Введя координаты вершин равностороннего треугольника, найдите положения точек $E$ и $K$, а затем сравните тангенсы углов $AEM$ и $CMK$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $AB=BC=AC=5$ можно взять $A(0,0)$, $C(5,0)$, $B\left(\frac52,\frac{5\sqrt3}{2}\right)$, $M(1,0)$. Получается $E\left(\frac43,\frac{4\sqrt3}{3}\right)$ и $K\left(\frac{17}{4},\frac{3\sqrt3}{4}\right)$.