Подобие треугольников и длина стороны
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.
а) Докажите, что треугольники $PAC$ и $ABC$ подобны. б) Найдите длину стороны $AB$, если $AC=2$, $BC=\sqrt{10}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В остроугольном треугольнике угол в два раза больше угла Точка центр окружности, описанной около треугольника Окружность, описанная около треугольника пересекает отрезок в точках и а) Докажите, что треугольники и подобны. б) Найдите длину стороны если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте $\angle ABC=\alpha$. Выразите через $\alpha$ остальные углы треугольника $ABC$ и используйте свойство центрального угла.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как $O$ — центр описанной окружности, $\angle AOC=2\angle ABC$. Точки $P$, $C$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому угол $PCA$ связан с углом $BCA$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получите $\angle PAC=\angle ABC$ и $\angle PCA=\angle ACB$, после чего примените признак подобия по двум углам. Для вычисления $AB$ используйте теорему синусов и равенство $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha}$.