Вписанная окружность параллелограмма
На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM = MC$. Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC$. Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB = 5$, $BC = 10$, $\angle BAD = 60^\circ$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На стороне параллелограмма выбрана точка такая, а) Докажите, что центр вписанной в треугольник окружности лежит б) Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Выразите стороны треугольника $AMD$ через стороны и углы параллелограмма. Для доказательства используйте координаты или векторные представления.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Положите $A=(0,0)$, $B=(5,0)$, $D=(5,5\sqrt{3})$. Из условия $AM=MC$ найдите координаты точки $M$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается $M=B+\dfrac13\overrightarrow{BC}$. В треугольнике $AMD$ имеем $AM=MC=\dfrac{20}{3}$, $AD=10$, $MD=\dfrac{5\sqrt{13}}{3}$. Координаты инцентра вычисляются как взвешенное среднее координат вершин с весами, равными длинам противоположных сторон.