Решение: Вписанная окружность параллелограмма
На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM = MC$. Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC$. Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB = 5$, $BC = 10$, $\angle BAD = 60^\circ$.
Решение по шагам
10 шаговВведём координаты: $A=(0,0)$, $B=(5,0)$. Так как $AD=BC=10$ и $\angle BAD=60^\circ$, то $D=(5,5\sqrt{3})$, а $C=(10,5\sqrt{3})$.
Пусть $M$ делит отрезок $BC$ в отношении $BM:MC=t:(1-t)$. Тогда $M=(5+5t,5\sqrt{3}t)$. Из условия $AM=MC$ получаем $t=\dfrac13$, поэтому $M=\left(\dfrac{20}{3},\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\right)$.
Вычислим стороны треугольника $AMD$: $AM=MC=\dfrac{20}{3}$, $AD=10$, а $MD=\dfrac{5\sqrt{13}}{3}$.
Координаты центра вписанной окружности треугольника равны взвешенному среднему координат его вершин, где веса равны длинам противоположных сторон:
$$I=\frac{MD\cdot A+AD\cdot M+AM\cdot D}{MD+AD+AM}$$Так как $A=(0,0)$, подставим координаты $M$ и $D$:
$$I=\frac{10M+\frac{20}{3}D}{\frac{5\sqrt{13}}{3}+10+\frac{20}{3}}=\frac{10\left(B+\frac13D\right)+\frac{20}{3}D}{\frac{5}{3}(\sqrt{13}+10)}$$Числитель преобразуется следующим образом:
$$10\left(B+\frac13D\right)+\frac{20}{3}D=10B+10D=10(B+D)=10C$$Следовательно, $I$ имеет вид $I=\lambda C$ для некоторого числа $\lambda$, а значит, лежит на диагонали $AC$. Пункт а) доказан.
Площадь треугольника $AMD$ равна площади треугольника $ACD$ с учётом вычисления через определитель:
$$S_{AMD}=\frac12\left|\overrightarrow{AM}\times\overrightarrow{AD}\right|=\frac12\cdot 5\cdot 10\sin60^\circ=\frac{25\sqrt3}{2}$$Полупериметр треугольника $AMD$ равен:
$$p=\frac{10+\frac{20}{3}+\frac{5\sqrt{13}}{3}}{2}=\frac{5}{6}(10+\sqrt{13})$$Используем формулу $S=pr$ для радиуса вписанной окружности:
$$r=\frac{S_{AMD}}{p}=\frac{25\sqrt3/2}{5(10+\sqrt{13})/6}=\frac{15\sqrt3}{10+\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt3(10-\sqrt{13})}{29}$$Центр вписанной окружности треугольника $AMD$ лежит на диагонали $AC$, а радиус окружности равен $\dfrac{5\sqrt{3}(10-\sqrt{13})}{29}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно принимают $MC=5(1-t)$ вместо $MC=10(1-t)$.
Используют координаты инцентра с весами, соответствующими не противоположным, а прилежащим сторонам.
Забывают разделить сумму длин сторон на два при вычислении полупериметра.
Оставляют ответ в виде дроби с иррациональностью в знаменателе.