Решение: Параллелограмм и биссектриса

Обозначим $\angle CAD=\alpha$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $BC\parallel AD$, поэтому $\angle BCA=\angle CAD=\alpha$, а $\angle BAC=2\alpha$.

В треугольнике $ABC$ биссектриса $AL$ по теореме о биссектрисе делит сторону $BC$ в отношении $BL:LC=AB:AC$. Формула длины биссектрисы даёт $AL=\dfrac{2AB\cdot AC\cos\alpha}{AB+AC}$.

По теореме косинусов в треугольнике $ABC$ и с учётом угла $BAC=2\alpha$ получаем $BC=\dfrac{AB+AC}{2\cos\alpha}$. Следовательно, $AL\cdot BC=AB\cdot AC$, что и требовалось доказать.

Пусть $\tg\alpha=\dfrac12$. Тогда $\sin\alpha=\dfrac1{\sqrt5}$, $\cos\alpha=\dfrac2{\sqrt5}$, $\cos2\alpha=\dfrac35$, $\sin2\alpha=\dfrac45$.

Расположим $AC$ на оси абсцисс: $A=(0,0)$, $C=(8,0)$. Пусть $AB=p$. Из условия, что вертикальные составляющие векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ взаимно уничтожаются, получаем $p(4\cos^2\alpha-1)=8$, поэтому $p=\dfrac{40}{11}$.

Тогда $B=\left(\dfrac{24}{11},\dfrac{16}{11}\right)$, а из параллельности $AD\parallel BC$ следует $D=\left(\dfrac{64}{11},-\dfrac{32}{11}\right)$.

Так как $BL:LC=AB:AC=5:11$, точка $L$ делит $BC$ в отношении $5:11$ и имеет координаты $L=(4,1)$.

Пусть точка $E$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$. Условие $AE=CE$ означает, что точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$. Поэтому её абсцисса равна $4$. На прямой $CD$ это даёт $E=\left(4,-\dfrac{16}{3}\right)$.