Решение: Треугольник и описанная окружность
В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $CC_1$ и биссектрисы $BB_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно. Известно, что $\angle ABC=40^\circ$ и $\angle ACB=85^\circ$. Докажите, что $BM=CN$. Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D$. Найдите площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна $6$.
Решение по шагам
7 шаговУгол при вершине $A$ равен $55^\circ$. Выберем масштаб так, чтобы $BC=1$, и введём координаты: $B=(0,0)$, $C=(1,0)$. Луч $BA$ образует с осью $BC$ угол $40^\circ$, а биссектриса угла $B$ — угол $20^\circ$.
Уравнение окружности, проходящей через $B$ и $C$, имеет вид $x^2+y^2-x-\tan35^\circ y=0$. На луче $BM$ точка $M$ имеет вид $M=t(\cos20^\circ,\sin20^\circ)$. Подстановка в уравнение окружности даёт $t=\cos20^\circ+\tan35^\circ\sin20^\circ$.
Прямая $CN$ перпендикулярна $AB$, поэтому её направляющий вектор можно взять равным $(-\sin40^\circ,\cos40^\circ)$. Подстановка параметрических координат этой прямой в уравнение окружности даёт $CN=\sin40^\circ+\tan35^\circ\cos40^\circ$.
По формуле сложения синусов и косинусов значения, полученные для $BM$ и $CN$, совпадают: $BM=CN$. Тем самым доказана часть а).
Из найденных координат точек $M$ и $N$ определяем точку пересечения $D$ прямой $MN$ с осью $BC$. После упрощения тригонометрических выражений получается, что расстояние от $D$ до $B$ вдвое больше расстояния от $B$ до прямой $DN$: $BD=2BH$.
Площадь треугольника $BDN$ вычисляется через основание $BD$ и высоту $BH$: $S_{BDN}=\frac12\cdot BD\cdot BH=\frac12\cdot 2BH\cdot BH=BH^2$.
При $BH=6$ получаем $S_{BDN}=6^2=36$.
36
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать высоту $BH$ треугольника $BDN$ с высотой исходного треугольника $ABC$.
Использовать в формуле площади сторону $BN$ вместо основания $BD$.
Не учитывать, что точка $M$ лежит на продолжении биссектрисы до второго пересечения с окружностью.