Решение: Трапеция и прямые углы
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
Докажите, что $AM = DM$. Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $70^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Решение по шагам
9 шаговПусть $BC=1$, тогда $AD=2$. Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=(2,0)$, $B=(u,h)$, $C=(u+1,h)$, $M=(x,y)$.
Так как $AB \perp BM$, скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю:
$$u(u-x)+h(h-y)=0$$Так как $DC \perp CM$, получаем второе уравнение:
$$(1-u)(x-u-1)-h(y-h)=0$$Сложим преобразованные уравнения. После исключения выражения $hy$ получаем:
$$x=1$$Точки $A$ и $D$ имеют координаты $(0,0)$ и $(2,0)$, поэтому прямая $x=1$ является серединным перпендикуляром к $AD$. Следовательно, точка $M$ равноудалена от $A$ и $D$:
$$AM=DM$$Расстояние от $M$ до прямой $AD$ равно $BC=1$, поэтому $y=1$. Из первого уравнения при $x=1$ получаем:
$$u+h=u^2+h^2$$Обозначим $\angle BAD=\alpha$. Так как $\angle ADC=70^\circ$, из прямоугольного треугольника, образованного горизонтальной и вертикальной составляющими стороны $DC$, имеем:
$$h=(1-u)\tan 70^\circ$$Положим $q=1-u$. Тогда $h=q\tan70^\circ$. Подставляя в равенство $u+h=u^2+h^2$, получаем:
$$q=q^2(1+\tan^2 70^\circ),\qquad q=\cos^2 70^\circ$$Следовательно, $u=1-q=\sin^2 70^\circ$, а $h=q\tan70^\circ=\sin70^\circ\cos70^\circ$. Поэтому:
$$\tan\alpha=\frac{h}{u}=\frac{\sin70^\circ\cos70^\circ}{\sin^2 70^\circ}=\cot70^\circ=\tan20^\circ$$а) $AM=DM$. б) $\angle BAD=20^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно задают координаты точки $C$: при $BC=1$ должно быть $C=(u+1,h)$.
Используют условие расстояния от $M$ до $AD$ как длину $BM$ или $CM$.
Забывают, что из $x=1$ следует расположение точки $M$ на серединном перпендикуляре к $AD$.
Путают углы $70^\circ$ и $20^\circ$ при вычислении наклона стороны $AB$.