Решение: Окружности и стороны треугольника
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.
а) Докажите, что $AP = BP$. б) Найдите длину стороны $BC$, если $AB = 7$, $AC = 4$.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим $\angle ABC = \alpha$. Тогда $\angle BAC = 2\alpha$, а $\angle ACB = 180^\circ - 3\alpha$.
Угол $AOC$ — центральный, а угол $ABC$ — вписанный, и они опираются на одну дугу $AC$. Поэтому $\angle AOC = 2\alpha$.
Точки $O$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $AC$, поэтому вписанные углы, опирающиеся на хорду $AC$, равны: $\angle APC = \angle AOC = 2\alpha$.
В треугольнике $APC$ имеем $\angle ACP = \angle ACB = 180^\circ - 3\alpha$. Следовательно, $\angle PAC = 180^\circ - 2\alpha - (180^\circ - 3\alpha) = \alpha$.
Так как $\angle BAC = 2\alpha$, то $\angle BAP = \angle BAC - \angle PAC = 2\alpha - \alpha = \alpha$. Поскольку $P$ лежит на $BC$, получаем $\angle ABP = \angle ABC = \alpha$. Значит, $\angle BAP = \angle ABP$, поэтому $AP = BP$.
Для нахождения $BC$ применим теорему синусов к треугольнику $ABC$: $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{\sin \alpha}{\sin 3\alpha}$.
Подставляя $AC=4$ и $AB=7$, получаем $\dfrac{4}{7} = \dfrac{\sin\alpha}{\sin3\alpha}$, то есть $\dfrac{\sin3\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{7}{4}$.
Используем равенство $\dfrac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}=3-4\sin^2\alpha$. Тогда $3-4\sin^2\alpha=\dfrac{7}{4}$, откуда $\sin^2\alpha=\dfrac{5}{16}$ и $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=\dfrac{3}{8}$.
По теореме косинусов для стороны $BC$, лежащей напротив угла $2\alpha$, имеем:
$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 2\alpha=7^2+4^2-2\cdot7\cdot4\cdot\frac{3}{8}=44$$Так как длина стороны положительна, $BC=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$.
а) $AP=BP$; б) $BC=2\sqrt{11}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать центральный угол $AOC$ с вписанным углом $ABC$ и не учитывать множитель 2.
Неверно определять угол $PAC$, забывая, что $P$ лежит на отрезке $BC$.
Использовать в теореме косинусов угол $\alpha$ вместо угла $2\alpha$.
Потерять положительный корень при извлечении квадратного корня.