Решение: Окружность и подобие треугольников
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$. б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=150^\circ$, $BC=5\sqrt{5}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Решение по шагам
6 шаговТак как точки $A,B,C_1,B_1$ расположены на двух секущих, а точки $B,C,B_1,C_1$ лежат на одной окружности, имеем $\angle ABC=\angle AB_1C_1$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $CC_1$. Кроме того, $\angle BAC=\angle B_1AC_1$, поскольку $B_1\in AC$ и $C_1\in AB$.
$$\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$$Пусть коэффициент подобия треугольника $AB_1C_1$ к треугольнику $ABC$ равен $k$. Четырёхугольник $BCB_1C_1$ дополняет треугольник $AB_1C_1$ до треугольника $ABC$. Поэтому $S_{ABC}=5S_{AB_1C_1}$.
$$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=\frac15=k^2$$Следовательно, $k=\frac1{\sqrt5}$. Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
$$B_1C_1=k\cdot BC=\frac1{\sqrt5}\cdot5\sqrt5=5$$Для вычисления радиуса удобно рассмотреть равнобедренный случай, который даёт ту же величину радиуса независимо от выбора длин $AB$ и $AC$, совместимого с данными. Пусть $AB=AC=x$. Тогда $BC=2x\sin75^\circ$, откуда $x^2=\frac{125}{2+\sqrt3}$.
$$x^2=\frac{(5\sqrt5)^2}{4\sin^2 75^\circ}=\frac{125}{2+\sqrt3}$$Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла $A$. С учётом того, что точки пересечения на каждой секущей имеют произведение расстояний от точки $A$, получаем формулу для радиуса:
$$R^2=\frac{125}{2+\sqrt3}\left(\frac{(1+1/\sqrt5)^2}{2-\sqrt3}-\frac1{\sqrt5}\right)$$После упрощения получаем численное значение радиуса.
$$R\approx15{,}71$$B_1C_1=5; радиус окружности R\approx15{,}71.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют отношение площадей как отношение сходственных сторон, забывая возвести коэффициент подобия в квадрат.
Путают точки $B_1$ и $C_1$ при установлении соответствия сторон.
При вычислении радиуса берут радиус описанной окружности треугольника $ABC$, хотя искомая окружность не проходит через точку $A$.