Решение: Площадь выпуклого четырёхугольника
Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4$. Радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ=16$, $QW=12$, угол $PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Решение по шагам
8 шаговПо теореме синусов для стороны $PQ$, противолежащей углу $PWQ$, имеем:
$$PQ=2R\sin\angle PWQ$$Подставим известные значения. Так как угол $PWQ$ острый, выбираем острое значение угла:
$$\sin\angle PWQ=\frac{16}{2\cdot10}=\frac45,\qquad \cos\angle PWQ=\frac35$$По теореме косинусов найдём третью сторону треугольника $PQW$:
$$PW^2=PQ^2+QW^2-2\cdot PQ\cdot QW\cos\angle PWQ=16^2+12^2-2\cdot16\cdot12\cdot\frac35=400$$Следовательно, $PW=20$. Стороны треугольника равны $12$, $16$ и $20$, поэтому $12^2+16^2=20^2$. По обратной теореме Пифагора треугольник $PQW$ прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине $Q$.
Его площадь равна:
$$S_{PQW}=\frac12\cdot PQ\cdot QW=\frac12\cdot16\cdot12=96$$Введём векторы с началом в точке $A$: $\vec{AB}=\mathbf b$, $\vec{AD}=\mathbf d$, $\vec{AC}=\mathbf c$. Из отношений деления сторон получаем:
$$\vec{AP}=\frac37\mathbf b,\qquad \vec{AQ}=\frac37\mathbf b+\frac47\mathbf c,\qquad \vec{AW}=\frac47\mathbf c+\frac37\mathbf d$$Вычисление ориентированной площади треугольника по этим векторам даёт:
$$S_{PQW}=\frac{12}{49}S_{ABCD}$$Следовательно, площадь исходного четырёхугольника равна:
$$S_{ABCD}=\frac{49}{12}S_{PQW}=\frac{49}{12}\cdot96=392$$Треугольник $PQW$ прямоугольный, а площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $392$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Выбрать тупой угол $PWQ$, несмотря на условие, что он острый.
Неверно определить сторону, противоположную углу $PWQ$, при применении теоремы синусов.
Использовать отношение $3:4$ без учёта того, что вся сторона состоит из $7$ равных частей.
Получить коэффициент связи площадей, рассматривая только одну из частей четырёхугольника.