Решение: Окружность и подобие треугольников
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=120^\circ$, $BC=10\sqrt{7}$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Решение по шагам
9 шаговУгол $A$ является общим для треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$, поскольку $B_1\in AC$ и $C_1\in AB$.
Так как точки $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной окружности, углы $ABC$ и $AB_1C_1$ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны по двум углам.
Пусть $S_1=S_{AB_1C_1}$, а $S_2=S_{BCB_1C_1}$. По условию $S_2=3S_1$, поэтому $S_{ABC}=S_1+S_2=4S_1$.
Если $k$ — коэффициент подобия треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$, то $k^2=\frac{S_1}{S_{ABC}}=\frac14$, значит $k=\frac12$.
Соответствующие стороны пропорциональны, поэтому $B_1C_1=k\cdot BC=\frac12\cdot10\sqrt7=5\sqrt7$.
Так как $B_1$ и $C_1$ являются серединами соответствующих сторон $AC$ и $AB$, введём координаты: $A=(0,0)$, $B=(c,0)$, $C=(b\cos120^\circ,b\sin120^\circ)$. Уравнение окружности имеет вид $x^2+y^2+ux+vy+w=0$.
На прямой $AB$ окружность пересекается при параметрах $1$ и $\frac12$, поэтому $w=\frac{c^2}{2}$. Аналогично на прямой $AC$ получаем $w=\frac{b^2}{2}$. Следовательно, $b=c$, то есть $AB=AC$.
Из теоремы косинусов для равнобедренного треугольника $ABC$: $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos120^\circ=3AB^2$. Поэтому $AB=\frac{10\sqrt{21}}{3}$.
Для найденной окружности коэффициенты её уравнения дают центр и радиус; после подстановки получается $R=\frac{\sqrt7}{2}AB=\frac{35\sqrt3}{3}$.
$B_1C_1=5\sqrt7$, радиус окружности $R=\frac{35\sqrt3}{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать площадь четырёхугольника $BCB_1C_1$ с площадью всего треугольника $ABC$.
Использовать коэффициент подобия, равный отношению площадей, вместо квадратного корня из отношения площадей.
Не обосновать равенство сторон $AB$ и $AC$ перед вычислением радиуса.
Применить формулу радиуса описанной окружности треугольника $ABC$, хотя искомая окружность не проходит через точку $A$.