Окружность девяти точек треугольника
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Найдите $A_1H$, если $BC = 2\sqrt{3}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике точки , и середины сторон , и соответственно, высота, , . а) Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности. б) Найдите , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Какие углы возникают в прямоугольных треугольниках $AHB$ и $AHC$? Какие свойства отрезков, соединяющих середины сторон треугольника, можно применить?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Треугольники $A_1B_1C_1$, $A_1B_1H$ и $A_1C_1H$ позволяют сравнить углы и доказать вписанность точек в одну окружность. Для вычисления используйте $BH = AB\cos 75^\circ$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Так как $\angle B = 75^\circ$, то $AB = \dfrac{BC\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=2\sqrt2$, а $BH=2\sqrt2\cos75^\circ=\sqrt3-1$. Поэтому $A_1H=\dfrac{BC}{2}-BH=1$.