Высота и центр описанной окружности

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия

ВысокаяФИПИ3B468EРазвёрнутое решение≈ 10 минут

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а) Докажите, что $AH=AO$. б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=3$, $\angle ABC=15^\circ$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

В треугольнике $A B C$ угол $A$ равен $120 °$ . Прямые, содержащие высоты $B M$ и $C N$ треугольника $A B C$ , пересекаются в точке $H$ . Точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $A B C$ .

а) Докажите, что $A H = A O$ .

б) Найдите площадь треугольника $A H O$ , если $B C = 3$ , $∠ A B C = 15 °$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Как связаны расстояние от вершины треугольника до ортоцентра и радиус описанной окружности?

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Используйте формулу $AH=2R\lvert\cos A\rvert$ и теорему синусов $BC=2R\sin A$.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Так как $A=120^\circ$, то $AH=2R\cdot\frac12=R=AO$. Далее найдите $R$ из $3=2R\sin120^\circ$, а угол $HAO$ определите по направлениям высоты и радиуса.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяПараллелограмм и высотыСледующаяПодобие треугольников и окружность

Задание 18 ЕГЭ, математика, профиль