Решение: Высота и центр описанной окружности
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $AH=AO$. б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=3$, $\angle ABC=15^\circ$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим радиус описанной окружности через $R$. Для расстояния от вершины до ортоцентра справедлива формула $AH=2R\lvert\cos A\rvert$.
$$AH=2R\lvert\cos120^\circ\rvert=2R\cdot\frac12=R$$Поскольку $O$ — центр описанной окружности, $AO=R$. Следовательно, $AH=AO$, что и требовалось доказать.
По теореме синусов для стороны $BC$, противолежащей углу $A$, получаем:
$$BC=2R\sin A$$Подставим известные значения и найдём радиус:
$$3=2R\sin120^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2},\qquad R=\sqrt3$$Из пункта а) $AH=AO=\sqrt3$. В треугольнике $AHO$ угол между $AH$ и $AO$ равен $60^\circ$. Поэтому его площадь равна:
$$S_{AHO}=\frac12\cdot AH\cdot AO\cdot\sin60^\circ=\frac12\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}$$а) $AH=AO$. б) $S_{AHO}=\dfrac{3\sqrt3}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют формулу $AH=2R\cos A$ без учёта того, что угол $A$ тупой.
Забывают, что $AO=R$.
Неверно применяют теорему синусов и получают неправильное значение радиуса.
Вычисляют площадь треугольника $AHO$ без учёта угла между сторонами $AH$ и $AO$.