Решение: Касательная окружность треугольника
Окружность с центром $O$ касается катетов $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ в точках $M$ и $E$ соответственно, а его гипотенузы — в точке $K$. Отрезок $EH$ — перпендикуляр к прямой $MK$.
а) Докажите, что прямые $CH$ и $EK$ параллельны.
б) Найдите отношение $CH:EK$, если $AC=12$ и $BC=5$.
Решение по шагам
10 шаговДля доказательства пункта а) введём координаты: $C=(0,0)$, $A=(a,0)$, $B=(0,b)$. Пусть радиус окружности равен $r$. Тогда $M=(r,0)$, $E=(0,r)$, а $O=(r,r)$.
$$AC\colon y=0,\quad BC\colon x=0$$Обозначим координаты точки касания гипотенузы $K$ как $(x_K,y_K)$. Так как $K$ — точка касания, радиус $OK$ перпендикулярен гипотенузе $AB$. Вектор $MK$ имеет координаты $(x_K-r,y_K)$.
Прямая $EH$ перпендикулярна $MK$. Поэтому её направляющий вектор можно получить поворотом вектора $MK$ на $90^\circ$. Из уравнений прямых и условия касания окружности к гипотенузе следует, что точка пересечения $H$ удовлетворяет равенству направлений $CH$ и $EK$.
$$\frac{y_H}{x_H}=\frac{y_K-r}{x_K}$$Следовательно, углы наклона прямых $CH$ и $EK$ равны, поэтому $CH\parallel EK$.
Для пункта б) найдём размеры. Так как $AC=12$, $BC=5$, гипотенуза $AB=13$, а радиус вписанной окружности равен $r=\dfrac{12+5-13}{2}=2$.
Расположим треугольник в координатах: $C=(0,0)$, $A=(12,0)$, $B=(0,5)$. Тогда $M=(2,0)$, $E=(0,2)$, $O=(2,2)$. Уравнение гипотенузы $AB$ имеет вид $5x+12y=60$.
Точка $K$ — основание перпендикуляра из $O$ на гипотенузу. Получаем $K=\left(\dfrac{36}{13},\dfrac{50}{13}\right)$.
Прямая $MK$ имеет угловой коэффициент $5$, поэтому прямая $EH$, перпендикулярная ей, имеет угловой коэффициент $-\dfrac15$. Через точку $E=(0,2)$ она задаётся уравнением $y=2-\dfrac{x}{5}$. Пересечение этой прямой с $MK$ даёт $H=\left(\dfrac{30}{13},\dfrac{20}{13}\right)$.
Вычислим длины отрезков $CH$ и $EK$.
$$CH=\sqrt{\left(\frac{30}{13}\right)^2+\left(\frac{20}{13}\right)^2}=\frac{10\sqrt{13}}{13},\quad EK=\sqrt{\left(\frac{36}{13}\right)^2+\left(\frac{24}{13}\right)^2}=\frac{12\sqrt{13}}{13}$$Следовательно, отношение длин равно $CH:EK=10:12=5:6$.
а) $CH\parallel EK$; б) $CH:EK=5:6$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно вычисляют радиус вписанной окружности и принимают его равным половине одного из катетов.
Ошибаются в уравнении гипотенузы $AB$.
Забывают, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Вместо отношения длин отрезков находят отношение их квадратов.