Решение: Ортотреугольник и окружность
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $AH = AO$.
б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC = \sqrt{15}$, $\angle ABC = 45^\circ$.
Решение по шагам
12 шаговОбозначим $AB=c$, $AC=b$. Разместим точку $A$ в начале координат, сторону $AB$ направим вдоль оси $Ox$. Тогда
$$B=(c,0),\qquad C=\left(-\frac b2,\frac{\sqrt3 b}{2}\right)$$Так как $H$ лежит на высоте из точки $C$, прямая $CH$ вертикальна, поэтому $x_H=-\dfrac b2$. Высота из точки $B$ перпендикулярна стороне $AC$ и имеет угловой коэффициент $\dfrac1{\sqrt3}$. Следовательно,
$$H=\left(-\frac b2,-\frac{b+2c}{2\sqrt3}\right)$$Центр описанной окружности равноудалён от $A$ и $B$, поэтому $x_O=\dfrac c2$. Из равенства $OA=OC$ получаем
$$O=\left(\frac c2,\frac{2b+c}{2\sqrt3}\right)$$Вычислим квадраты расстояний от точки $A$ до точек $H$ и $O$:
$$AH^2=\frac{b^2}{4}+\frac{(b+2c)^2}{12}=\frac{b^2+bc+c^2}{3}$$Аналогично,
$$AO^2=\frac{c^2}{4}+\frac{(2b+c)^2}{12}=\frac{b^2+bc+c^2}{3}$$Следовательно, $AH^2=AO^2$, а так как длины отрезков положительны, то $AH=AO$.
Для второй части по теореме синусов: $BC=a=\sqrt{15}$, $\angle A=120^\circ$, $\angle B=45^\circ$, поэтому $\angle C=15^\circ$.
$$\frac{AB}{\sin 15^\circ}=\frac{AC}{\sin45^\circ}=\frac{BC}{\sin120^\circ}$$Находим длины сторон:
$$AC=\sqrt{15}\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin120^\circ}=\sqrt{10}$$Кроме того,
$$AB=\sqrt{15}\cdot\frac{\sin15^\circ}{\sin120^\circ}=\frac{\sqrt{30}-\sqrt{10}}2$$В координатах площадь треугольника $AHO$ равна половине модуля определителя векторов $\overrightarrow{AH}$ и $\overrightarrow{AO}$:
$$S_{AHO}=\frac12\left|x_Hy_O-y_Hx_O\right|=\frac{AC^2-AB^2}{4\sqrt3}$$Вычислим разность квадратов сторон:
$$AC^2-AB^2=10-(10-5\sqrt3)=5\sqrt3$$Следовательно,
$$S_{AHO}=\frac{5\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac54$$а) $AH=AO$. б) $S_{AHO}=\dfrac54$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют координаты ортоцентра, забывая, что высота из точки $C$ вертикальна в выбранной системе координат.
Используют $\angle C=30^\circ$ вместо правильного значения $\angle C=15^\circ$.
Путают стороны $AB$ и $AC$ при применении теоремы синусов.
Вычисляют площадь треугольника $AHO$ без модуля определителя.