Ортотреугольник и окружность
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $AH = AO$.
б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC = \sqrt{15}$, $\angle ABC = 45^\circ$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике угол равен . Прямые, содержащие высоты и треугольника , пересекаются в точке . Точка центр окружности, описанной около треугольника . а) Докажите, что . б) Найдите площадь треугольника , если , . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Удобно ввести обозначения $AB=c$, $AC=b$ и выбрать координатную систему с началом в точке $A$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
При $\angle A=120^\circ$ можно найти координаты точек $H$ и $O$, а затем сравнить квадраты расстояний $AH$ и $AO$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается $AH^2=AO^2=\dfrac{b^2+bc+c^2}{3}$. Для второй части найдите $AB$ и $AC$ по теореме синусов, затем используйте площадь через координаты или через две стороны и синус угла $HAO$.