Касательная и вписанная окружность
В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=3$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В четырёхугольник вписана окружность с центром Эта окружность касается стороны в точке Известно, что а) Докажите, что точка лежит на прямой б) Найдите длину стороны если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте тот факт, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов четырёхугольника, а радиус перпендикулярен касательной.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Если радиус окружности равен $r$, то длина касательной от вершины с углом $\alpha$ до точки касания равна $r\cot\dfrac{\alpha}{2}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получите $MA=\sqrt{3}r$, $NA=r$, $LA=3r$ и $LO=2r$. Равенство $LA=LO+OA$ докажет коллинеарность точек $L$, $O$ и $A$.