18
Ответ: Касательная и вписанная окружность
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия
ВысокаяФИПИ548cBAРазвёрнутое решение≈ 15 минут
Что должно получиться
MN=1+\sqrt{3}
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Условие
В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle LMN=\angle KLM=60^\circ$.
а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=3$.
Где здесь ошибаются
Забывают, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.
Неверно используют формулу длины касательной: для угла $60^\circ$ она равна $r\cot30^\circ=\sqrt{3}r$.
Путают радиус $OA$ с длиной касательной $MA$.
Не обосновывают коллинеарность точек $L$, $O$ и $A$.