Ответ: Окружность в треугольнике
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности; $A_1H=3$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Найдите $A_1H$, если $BC=6\sqrt{3}$.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют угол $ABC$: он равен $15^\circ$, а не $75^\circ$.
Забывают, что высота $AH$ перпендикулярна стороне $BC$.
Ошибаются при вычислении $\sin15^\circ$ или при нахождении координат середины отрезка.
Доказывают существование окружности только для трёх точек, не проверяя принадлежность четвёртой точки.