Ответ: Подобие треугольников и окружность
$BC=18$, радиус окружности $R=9\sqrt{2}$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A = 45^\circ$, $B_1C_1 = 6$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Где здесь ошибаются
Используют отношение площадей как отношение соответствующих сторон, забывая возвести коэффициент подобия в квадрат.
Считают площадь четырёхугольника равной площади большого треугольника, не вычитая площадь треугольника $AB_1C_1$.
Применяют теорему синусов без учёта того, что сторона $BC$ лежит напротив угла $A$.