Окружность в треугольнике

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия

ВысокаяФИПИEA7D2BРазвёрнутое решение≈ 15 минут

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Найдите $A_1H$, если $BC=6\sqrt{3}$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

В треугольнике $A B C$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ $—$ середины сторон $B C$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ $—$ высота, $∠ B A C = 120 °$ , $∠ B C A = 45 °$ .

а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1} H$ , если $B C = 6 \sqrt{3}$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Какие координаты удобно выбрать, если сторона $BC$ расположена на оси абсцисс?

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Используйте теорему синусов для нахождения $AC$ и координат точки $A$. Затем найдите координаты середин сторон и высоты $H$.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Положите $C=(0,0)$, $B=(6\sqrt{3},0)$. Тогда $A=(3(\sqrt{3}-1),3(\sqrt{3}-1))$, $H=(3(\sqrt{3}-1),0)$, а $A_1=(3\sqrt{3},0)$, поэтому $A_1H=3$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяБиссектрисы в трапецииСледующаяПерпендикулярные медианы и длина

Задание 18 ЕГЭ, математика, профиль