Перпендикулярные медианы и длина
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM = BC$ и $CN = AC$.
а) Отрезки $CP$ и $CQ$ — медианы треугольников $ABC$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
б) Прямые $MN$ и $AB$ пересекаются в точке $K$, а прямые $BM$ и $AN$ — в точке $L$. Найдите $KL$, если $BC = 1$, а $AC = 5$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В прямоугольном треугольнике точка лежит на катете , а точка лежит на продолжении катета за точку , причём и . а) Отрезки и медианы треугольников и соответственно. Докажите, что прямые и перпендикулярны. б) Прямые и пересекаются в точке , а прямые и | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Для пункта а) удобно ввести координаты: совместите катеты с осями координат и найдите координаты середин сторон.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Возьмите $C=(0,0)$, $B=(0,1)$, $A=(5,0)$. Тогда $M=(1,0)$, $N=(0,-5)$. Для проверки перпендикулярности вычислите скалярное произведение направляющих векторов.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Середины $AB$ и $NM$ имеют координаты $P=(5/2,1/2)$ и $Q=(1/2,-5/2)$, поэтому $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CQ}=0$. Далее найдите уравнения прямых $MN$, $AB$, $BM$ и $AN$ и вычислите координаты $K$ и $L$.